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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$D$是$BC$的中点,$E$是$AD$的中点,过点$A$作$AF$ ∥ $BC$交$BE$的延长线于点$F$. $(1)$求证:四边形$ADCF$是菱形； $(2)$当$\triangle ABC$满足什么条件时,四边形$ADCF$是正方形； $(3)$若$AC=6$,$AB=8$,则菱形$ADCF$的面积是______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$E$是边$AB$上一点,连接$CE$,在$BC$的右侧作$BF$ ∥ $AC$,且$ BF=AE$,连接$CF$.若$AC=13$,$BC=10$,则四边形$EBFC$的面积为______.

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如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分为四边形$ABCD$,若测得点$A$,$C$之间的距离为$6cm$,点$B$,$D$之间的距离为$8cm$,则线段$AB$的长为（ ）

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若关于$x$的分式方程$\frac{mx-1}{x-3}+\frac{1}{3-x}=1$无解,求$m$的值.

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若把分式$\frac{5x+y}{x+y}$中$x$,$y$都扩大$3$倍,则分式的值（ ）

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把分式$\frac{xy}{x+y}(x+y\neq 0)$中的$x$、$y$都扩大$3$倍,那么分式的值（ ）

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如图,菱形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$的长分别为$6cm$,$8cm$,则这个菱形的周长为（ ）

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已知菱形$ABCD$的周长为$40cm$,它的一条对角线长$10cm$,则这个菱形较小的一个内角的度数为______.

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问题提出 $(1)$如图$1$,$AD$是$\triangle ABC$的高,且$BD=CD$,则$\triangle ABC$是______三角形. 问题探究 $(2)$如图$2$,在▱$ABCD$中,$E$是$AD$的中点,延长$BE$交$CD$的延长线于点$F$.求证:$\triangle AEB$ ≌ $\triangle DEF.$ 问题解决 $(3)$如图$3$,现有一块▱$ABCD$型板材,$E$为$BC$边上的中点,工人

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若菱形的两条对角线长分别是方程$x^{2}-10x+24=0$的两实根,则菱形的面积为____.

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如图,在矩形$ABCD$中,$\angle BCD$的角平分线交$AD$于点$E$,$F$是$AB$延长线上一点,满足$BF=AE$,连接$EF$,$CF$. 求证:$EF=CF$.

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一个各数位均不为$0$的四位自然数$M=\overline{abcd}$,若满足$a+d=b+c=9$,则称这个四位数为"友谊数".例如:四位数$1278$,$\because 1+8=2+7=9$,$\therefore 1278$是"友谊数".若$\overline{abcd}$是一个"友谊数",且$b-a=c-b=1$,则这个数为______；若$M=\overline{abcd}$是一个"友谊数",设$F\left(M\righ

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如图,四边形$ABCD$是菱形,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,若$AC=6cm$,$BD=8cm$,则菱形的面积为（ ）

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如图,矩形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O,CD$ ∥ $OE$,直线$CE$是线段$OD$的垂直平分线,$CE$分别交$OD$,$AD$于点$F$,$G$,连接$DE$. $(1)$判断四边形$OCDE$的形状,并说明理由； $(2)$当$CD=4$时,求$EG$的长.

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如图,在矩形$ABCD$中,$E$是$AD$边的中点,$BE\bot AC$,垂足为点$F$. $(1)$求证:$FC=2FA$； $(2)$若$EF=1$,则$AC$的长为______； $(3)$连接$DF$,求证:$DC=DF$.

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如图,$\triangle ABC$是等腰直角三角形,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC=8$,$D$为$AC$边上一点,$AD=2$,$E$为$BC$边上一动点,连接$DE$,以$DE$为边并在$DE$的左侧作等边$\triangle DEF$,连接$AF$,则$AF$的最小值为______$.($提示:直角三角形中,$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半）

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如图,边长为$6$的正三角形$ABC$内接于$\odot O$,则图中阴影部分的面积是______.

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如图,已知正方形$ABCD$的边长为$3$,点$P$是对角线$BD$上的一点,$PF\bot AD$于点$F$,$PE\bot AB$于点$E$,连接$PC$,当$PE:PF=1:2$时,则$PC=\left(\ \ \right)$

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如图,已知等边三角形$ABC$的边长是$6$,$\odot O$是它的内切圆,则图中阴影部分的面积是______.

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如图,在梯形$ABCD$中$,AB$ ∥ $CD,\angle BAD=90^{\circ}$,以$AD$为直径的半圆$O$与$BC$相切. $(1)$求证:$OB\bot OC$； $(2)$若$AD=12$,$\angle BCD=60^{\circ}$,$\odot O_{1}$与半$\odot O$外切,并与$BC$、$CD$相切,求$\odot O_{1}$的面积.

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