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如图,点$A$在反比例函数$y_1=\frac{12}{x}(x＞0)$的图象上,过点$A$作$AB\bot x$轴,垂足为$B$,交反比例函数$y_2=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象于点$C$,$P$为$y$轴上一点,连接$PA$,$PC$,则$\triangle APC$的面积为（ ）

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如图,点$B$是反比例函数上一点,矩形$OABC$的周长是$20$,正方形$BCGH$和正方形$OCDF$的面积之和为$68$,则反比例函数的解析式是____.

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如图,点$P$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq 0)$的图象上任意一点,过点$P$作$PM\bot x$轴,垂足为$M$,若$\triangle POM$的面积等于$5$,则$k$的值等于（ ）

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如图,点$P$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq 0)$的图象上任意一点,过点$P$作$PM\bot x$轴,垂足为$M$.若$\triangle POM$的面积等于$2$,则$k$的值等于______.

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二次函数$y=ax^{2}+bx+c$与一次函数$y=ax+c $在同一坐标系内的图象可能是（ ）

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在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=ax+b$和二次函数$y=ax^{2}+bx$的图象可能为（ ）

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已知抛物线$y=a\left(x-2\right)^{2}+1$经过点$A\left(1,-1\right)$. $(1)$求此抛物线的函数解析式； $(2)$写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴； $(3)$判断点$\left(3,-2\right)$是否在此抛物线上； $(4)$求出此抛物线上纵坐标为$-3$的点的坐标.

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已知抛物线$y=ax^{2}+bx-3$经过点$\left(2,1\right)$,$\left(-1,-8\right)$. $(1)$求此抛物线的函数解析式； $(2)$若$y \lt 0$时,则$x$的取值范围为______.

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二次函数图象上部分点的横坐标$x$.纵坐标$y$的对应值如表: $x$ $\ldots $ $-4$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $5$ $0$ $-3$ $-4$ $-3$ $m$ $\ldots $ $(1)m= $______； $(2)$当$y \lt 5$时,$x$的取值范围是______； $(3)$当$x$在什么范围内时,$y$随$x$的增大而减小?

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已知抛物线$y=x^{2}-4x+3$. $(1)$该抛物线的对称轴是______,顶点坐标______； $(2)$选取适当的数据填入如表,并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； $x$ $\ldots $ ______ ______ ______ ______ ______ $\ldots $ $y$ $\ldots $ ______ ______ ______ ______ ______ $\ldots $ $(3)$根据

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二次函数$y=ax^{2}+bx$的图象如图所示,则一次函数$y=x+b$的图象一定不经过第______象限.

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已知方程$x^{2}+mx+3=0$的一个根是$1$,则方程另一个根是（ ）

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小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程时,小明在化简过程中写错了常数项,得到两个根分别是$2$和$5$；小红在化简过程中写错了一次项系数,得到两个根分别是$2$和$6$.则此方程正确的解为（ ）

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关于$x$的方程$x^{2}-(m^{2}-1)x+2m=0$的两个根互为相反数,则$m$的值是（ ）

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方程$x^{2}=2x$的根为______.

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已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-\left(m-1\right)x+3m-12=0$. $(1)$求证:无论$m$取何值,方程总有两个实数根； $(2)$矩形$ABCD$的两条边$AB$,$BC$恰好是这个方程的两个根, ①当$m= $______时,矩形$ABCD$是正方形,此时正方形的边长是______. ②当矩形$ABCD$的对角线长为$\sqrt{13}$时,求矩形的面积.

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已知$a$,$b$是方程$x^{2}+x-3=0$的两个不相等的实数根,则$ab+a+b$的值是______.

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若关于$x$的方程有一个解为$x=1$,那么称这样的方程为"实一方程".例如方程:$x^{2}-x=0$有解$x=1$,所以$x^{2}-x=0$为"实一方程". $(1)$下列方程是"实一方程"的有______； ①$2x-2=0$； ②$|x-2|=4$； ③$x^{2}+x-2=0$. $(2)$已知直线$y=kx+b$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,$S_{\triangle AOB}=\frac{9}{2}$,

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已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+5x-m=0$的一个根是$2$,则另一个根是______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=9$,$AC=12$,$D$为$AB$上一点,且$AD=\frac{2}{3}AB$,在$AC$上取一点$E$,若以$A$、$D$、$E$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似,则$AE$的长为（ ）

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