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方程$\sqrt{2}x^2+x=0$的解为______.

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对于任意实数$a$,$b$,定义关于"※"的一种运算如下:$a$※$b=\frac{2a^{2}+b}{3b}$,例如:$5$※$2=\frac{2×5^{2}+2}{3×2}=\frac{26}{3}$,若$4$※$x=-3$,$x=\_\_\_\_\_\_.$

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已知一元二次方程$x^{2}+6x-5=0$的两根为$m$,$n$,则$m-mn+n=$____.

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设$x^{2}-px+q=0$的两实根为$\alpha $,$\beta $,而以$\alpha ^{2}$,$\beta ^{2}$为根的一元二次方程仍是$x^{2}-px+q=0$,则数对$\left(p,q\right)$的个数是（ ）

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关于$x$的一元二次方程$mx^{2}-2mx+1=0$有两个相等的实数根,则$m=\_\_\_\_\_\_.$

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小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是$6$和$1$；小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是$-2$和$-5$.则原来的方程是（ ）

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已知关于$x$的方程$x^{2}-kx+12=0$的一个根为$3$,求$k$的值及它的另一个根.

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已知$m$、$n$是方程$x^{2}-2x-5=0$的两个根,那么$m^{2}+2n= \_\_\_\_\_\_.$

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已知关于$x$的一元二次方程:$x^{2}-2x-a=0$,有下列结论: ①当$a \gt -1$时,方程有两个不相等的实根； ②当$a \gt 0$时,方程不可能有两个异号的实根； ③当$a \gt -1$时,方程的两个实根不可能都小于$1$； ④当$a \gt 3$时,方程的两个实根一个大于$3$,另一个小于$3$. 以上$4$个结论中,正确的个数为____.

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已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4mx+3m^{2}=0\left(m \gt 0\right)$的一个根比另一个根大$2$,则$m$的值为______.

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学完了勾股定理相关知识,王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题.大家知道,长方形的对边相等,对边平行,四个角都是直角,即长方形$ABCD$中,$\angle A=\angle ABC=\angle C=\angle ADC=90^{\circ}$,$AB=CD,AD=BC,AD$ ∥ $BC,AB$ ∥ $CD.$ 请你运用所学知识,解决下面的问题: $(1)$如图$1$,长方形纸片$ABCD$中,$AB=5$,$AD=12$,将纸片折

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下列各式分解因式正确的是（ ）

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因式分解: $(1)25m^{2}-10mn+n^{2}$； $(2)12a^{2}b\left(x-y\right)-4ab\left(y-x\right)$.

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因式分解: $(1)3m^{2}-6m$； $(2)ax^{2}-2axy+ay^{2}$.

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如图,把$R_{1}$、$R_{2}$、$R_{3}$三个电阻串联起来,线路$AB$上的电流为$I$,电压为$U$,则$U=IR_{1}+IR_{2}+IR_{3}$.当$R_{1}=19.7$,$R_{2}=32.4$,$R_{3}=35.9$,$I=2.5$时,则$U$的值为______.

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如图所示,在平面直角坐标系中,$P\left(4,4\right)$, $(1)$点$A$在$x$的正半轴运动,点$B$在$y$的正半轴上,且$PA=PB$, ①求证:$PA\bot PB$: ②求$OA+OB$的值； $(2)$点$A$在$x$的正半轴运动,点$B$在$y$的负半轴上,且$PA=PB$,求$OA-OB$的值.

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如图所示,边长为$2$的等边三角形$ABC$中,$D$点在边$BC$上运动（不与$B$、$C$重合),点$E$在边$AB$的延长线上,点$F$在边$AC$的延长线上,$AD=DE=DF$.点$D$在$BC$边上从$B$至$C$的运动过程中,$\triangle BED$周长变化规律为（ ）

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如图所示,把$\triangle ABC$的三边$BA$、$CB$和$AC$分别向外延长一倍,将得到的点${A\’}$、${B\’}$、${C\’}$顺次连接成$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$,若$\triangle ABC$的面积是$5$,则$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$的面积是______.

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如图,一次函数$y=-\frac{3}{4}x+3$的图象与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,$C$是$x$轴上一动点,连接$BC$,将$\triangle ABC$沿$BC$所在的直线折叠,当点$A$落在$y$轴上时,点$C$的坐标为____.

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在探究一次函数$k$、$b$对函数图象和性质的影响时,北师大教材$87$页探究了"直线$y=-x$与$y=-x+3$的位置关系如何?你能通过适当的移动将直线$y=-x$变为$y=-x+3$吗?一般地,直线$y=kx+b$与$y=kx$又有怎样的关系呢?" 根据以上探究结论,解答下列问题: 若直线$l:y=2x+4$交坐标轴于$A$,$B$两点,将直线向右平移$m$个单位得到直线$l_{1}$. $(1)$若$m=3$时,求: ①直线$l

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