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已知关于$x$的一元二次方程:$x^{2}-2x-a=0$,有下列结论: ①当$a \gt -1$时,方程有两个不相等的实根； ②当$a \gt 0$时,方程不可能有两个异号的实根； ③当$a \gt -1$时,方程的两个实根不可能都小于$1$； ④当$a \gt 3$时,方程的两个实根一个大于$3$,另一个小于$3$. 以上$4$个结论中,正确的个数为____.

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已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4mx+3m^{2}=0\left(m \gt 0\right)$的一个根比另一个根大$2$,则$m$的值为______.

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如图,已知$O$是坐标原点,$B\left(-3,6\right)$,$C\left(-3,0\right)$,以原点$O$为位似中心,将$\triangle OBC$缩小为原来的一半（即新图形与原图形的相似比为$1:2)$. （1）画出缩小后的图形； （2）写出$B$点的对应点坐标； （3）如果$\triangle OBC$内部一点$M$的坐标为$\left(x,y\right)$,写出点$M$经位似变换后的对应点坐标.

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将$\triangle ABC$的各边长作如下变化,得到的新三角形与$\triangle ABC$相似的是（ ）

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如图,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$与$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$关于点$P$位似,其中顶点$A$,$B$,$C$的对应点依次为${A\’}$,${B\’}$,${C\’}$,且都在格点上. $(1)$请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心$P$； $(2)$请在图中画出$\triangle A$″$B$″$C$″,使之满足如下条件: ①$\triangle A$″$B$″$C$″与$\t

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方格纸中每个小正方形的边长都是单位$1$,$\triangle OAB$在平面直角坐标系中的位置如图所示,解答问题: $(1)$请按要求对$\triangle OAB$作变换:以点$O$为位似中心,位似比为$2:1$,将$\triangle OAB$在位似中心的异侧进行放大得到$\triangle OA\’{B\’}$. $(2)$写出点${A\’}$的坐标______. $(3)\triangle OA\’{B\’}$的面积为____

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如图,点$P\left(8,6\right)$在$\triangle ABC$的边$AC$上,以原点$O$为位似中心,在第一象限内将$\triangle ABC$缩小到原来的$\frac{1}{2}$,得到$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$,点$P$在${A\’}{C\’}$上的对应点${P\’}$的坐标为（ ）

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如图,在边长为$1$的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,以原点$O$为位似中心,在第一象限内将$\triangle OAB$放大到原来的$2$倍后得到$\triangle OA\’{B\’}$,其中$A$、$B$在图中格点上,点$A$、$B$的对应点分别为${A\’}$、${B\’}$. $(1)$在第一象限内画出$\triangle OA\’{B\’}$； $(2)$求$\triangle OA\’{B\’}$的面积； $(3)

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如图,已知$BD$是$ O$的直径,点$A$、$C$在$ O$上$,$ $ AB=$ $ BC,\angle AOB=60^{\circ}$,则$\angle BDC$的度数是（ ）

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如图,在$\odot O$中,点$A$,$B$,$C$在圆上,且$OC\bot AB$,垂足为$D$,若$\angle BOC=45^{\circ}$,$OB=2\sqrt{2}$,则$AB$的长为（ ）

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如图,已知$\odot O$的直径$AB$平分弦$CD(不是直径)$,若$\angle BDC=25^{\circ}$,则$\angle BOD=\left(\ \ \right)$

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如图,$BD$是$\odot O$的直径,$\angle CBD=30^{\circ}$,则$\angle A$的度数为（ ）

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已知$\odot O$的半径为$2$,$\triangle ABC$内接于$\odot O$,$AB=2$,则$\angle ACB=\_\_\_\_\_\_.$

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在平面直角坐标系中,点$P\left(-20,a\right)$与点$Q\left(b,13\right)$关于原点对称,则$a+b$的值为（ ）

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如图,$\odot M$的半径为$4$,圆心$M$的坐标为$\left(6,8\right)$,点$P$是$\odot M$上的任意一点,$PA\bot PB$,且$PA$、$PB$与$x$轴分别交于$A$、$B$两点,若点$A$、点$B$关于原点$O$对称,则$AB$的最大值为（ ）

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如图,在正方形$ABCD$中,$AB=4$,动点$P$以$\frac{1}{2}$个单位每秒的速度沿$A-B$的线路运动,同时,动点$Q$以$1$个单位每秒的速度沿$A-D-C$的线路运动,当一个动点先到达终点时,另一个动点随之停止运动.设运动时间为$x$秒,三角形$APQ$的面积记为$y_{1}$. $(1)$请直接写出$y_{1}$关于$x$的函数表达式,并注明自变量$x$的取值范围； $(2)$在给定的平面直角坐标系中画出函数$y

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如图,$\odot M$的半径为$4$,圆心$M$的坐标为$\left(6,8\right)$,点$P$是$\odot M$上的任意一点,$PA\bot PB$,且$PA$、$PB$与$x$轴分别交于$A$、$B$两点,若点$A$、点$B$关于原点$O$对称,则$AB$的最小值为______.

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已知:方程$x^{2}-2\left(k-1\right)x+2k^{2}-12k+17=0$,两根为$x_{1}$,$x_{2}$,求${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$的最大值与最小值.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC=40^{\circ}$,$AB=6$,斜边$AB$是半圆$O$的直径,点$D$是半圆上的一个动点,连接$CD$与$AB$交于点$E$,若$BE=BC$时,弧$BD$的长为（ ）

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$. $(1)$作$\odot O$,使它过点$A$、$B$、$C(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)$； $(2)$在（1）所作的圆中,若$AC=2$,$AB=4$,求劣弧$BC$的长.

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