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如图,四边形$ABCD$为矩形,$AB=3$,$BC=4$,点$P$是线段$BC$上一动点,点$M$为线段$AP$上一点,$\angle ADM=\angle BAP$,则$BM$的最小值为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上,联结$DE$,如果$AD:BD=2:3$,那 么下列条件中能判断$DE$ ∥ $BC$的是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中$,DE$ ∥ $BC,AD=9,DB=3,AE=6,$则$CE$的长为（ ）

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如图,$l_{1}$ ∥ $l_{2}$ ∥ $l_{3}$,$AB=5$,$DE=4$,$EF=8$,求$AC$的长.

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已知$\triangle ABC$中,$D$,$E$分别是边$BC$,$AC$上的点,下列各式中,不能判断$DE$ ∥ $AB$的是（ ）

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如图,点$F$是▱$ABCD$的边$CD$上一点,直线$BF$交$AD$的延长线于点$E$,则下列结论正确的有（ ） ①$\frac{ED}{EA}=\frac{DF}{AB}$；②$\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{FB}$；③$\frac{BC}{DE}=\frac{BF}{BE}$；④$\frac{BF}{BE}=\frac{BC}{AE}$.

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如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,$AB$为直径,$D$是$\odot O$上一点,且$\widehat {CB}=\widehat {CD}$,$CE\bot DA$交$DA$的延长线于点$E$. $(1)$求证:$\angle CAB=\angle CAE$； $(2)$求证:$CE$是$\odot O$的切线； $(3)$若$AE=1$,$BD=4$,求$\odot O$的半径长.

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如图,$AB$为$\odot O$的直径,$OC\bot AB$交$\odot O$于点$C$,$D$为$OB$上一点,延长$CD$交$\odot O$于点$E$,延长$OB$至$F$,使$DF=FE$,连接$EF$. $(1)$求证:$EF$为$\odot O$的切线； $(2)$若$OD=1$且$BD=BF$,求$\odot O$的半径.

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如图所示,$AB$是$\odot O$的直径,$CD$为弦,$CD\bot AB$于点$E$,则下列结论中不成立的是（ ）

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如图,在平面直角坐标系中,点$A\left(1,6\right)$、$B\left(5,6\right)$、$C\left(7,4\right)$. $(1)$借助网格线画出经过$A$、$B$、$C$三点的圆弧所在圆的圆心$M$的位置（保留画图痕迹）； $(2)$连接$AM$、$CM$,圆心$M$的坐标为______,$\odot M$的半径为______； $(3)\widehat {AC}$的长______.

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如图,在平行四边形$ABCD$中,$\angle BAD=120^{\circ}$,连接$BD$,作$AE$ ∥ $BD$交$CD$延长线于点$E$,过点$E$作$EF\bot BC$交$BC$的延长线于点$F$,且$CF=1$,则$AB$的长是（ ）

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如图,矩形$ABCD$中,对角线$AC$、$BD$交于点$O$,$DE\bot AC$于点$E$,$AE=3CE$,$DE=6cm$,$AD=\left(\ \ \right)cm$.

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操作与研究:如图,$\triangle ABC$被平行于$CD$的光线照射,$CD\bot AB$于$D$,$AB$在投影面上. $(1)$指出图中线段$AC$的投影是______,线段$BC$的投影是______. $(2)$问题情景:如图$1$,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD\bot AB$,我们可以利用$\triangle ABC$与$\triangle ACD$相似证

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如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过点$A\left(-1,2\right)$、$B\left(2,2\right)$、$C\left(3,-2\right)$,点$P$是抛物线$y=ax^{2}+bx+c$在$x$轴上方图象上一点,动直线$y=-\frac{1}{2}x+t$分别交$x$轴、$y$轴于点$D$、$E$. $(1)$求此抛物线的解析式； $(2)$当以$A$、$C$、$P$为顶点的三角形面积为$6$时,求出$P

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如图,已知$AB$为$\odot O$的直径,点$D$为$\odot O$上一点,连接$AD$,$BD$,$OC\bot BD$于点$E$、且$\angle BOC=\angle BDC$. $(1)$求证:$DC$是$\odot O$的切线； $(2)$若$\angle A=30^{\circ}$,$AD=6$,求图中阴影部分的面积.

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如图,$AB$是$\odot O$的弦,点$P$为优弧$APB$上的一点,$\angle APB$的平分线交$\odot O$于点$Q$,$AB=6$,$\angle APB=60^{\circ}$,则在点$P$运动的过程中,$PQ$长的最大值为（ ）

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在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,将线段$AC$绕点$A$逆时针旋转至$AD$,连接$CD$,$\angle BAD$的角平分线$AE$与$DC$的延长线交于点$E$,与$BC$交于点$F$. $(1)$如图$1$,若$\angle BAC=90^{\circ}$,$\angle CAD=60^{\circ}$,$AD=4$,求$AE$的长； $(2)$如图$2$,若$\angle BAC=60^{\circ}$,过点

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在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,如果$AC=4$,$\sin B=\frac{2}{3}$,那么$AB=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=BC=6$,点$D$为$AC$中点,点$E$为边$AB$上一动点,点$F$为射线$BC$上一动点,且$\angle FDE=90^{\circ}$. $(1)$当$DF$ ∥ $AB$时,连接$EF$,求$\angle DEF$的余切值； $(2)$当点$F$在线段$BC$上时,设$AE=x$,$BF=y$,求$y$关于$x$的函数关系式,

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如图,在网格中,小正方形的边长均为$1$,点$A$,$B$,$C$都在格点上,则$\angle ABC$的正切值是（ ）

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