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已知点$P$是线段$AB$的黄金分割点,且$AP \lt PB$,若$AB=2$,则$BP=\_\_\_\_\_\_(结果保留根号)$.

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古希腊的毕达哥拉斯,在$2500$年前曾经大胆断言,一条线段$\left(AB\right)$的某一短线段（比如$AC)$与另一长线段（比如$BC)$之比,如果正好等于另一长线段（比如$BC)$同整个线段$\left(AB\right)$的比（即$BC^{2}=AC\cdot AB)$,那么这样的比例会给人一种美感,后来我们将分割这条线段$\left(AB\right)$的点$C$称为线段$AB$的"黄金分割点". 在主持节目时,主持人

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美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近$0.618$时,越给人一种美感.已知某女士的身高为$160cm$,下半身长$x$与身高$l$的比值是$0.60$,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为______$.($精确到$1cm)$

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在设计人体雕像时,使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比,等于下部与全部（全身）的高度比,可以增加视觉美感.按此比例,如果雕像的高为$2m$,那么它的下部应设计为多高?

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已知线段$AB=10$,点$C$是线段$AB$上的黄金分割点$\left(AC \gt BC\right)$,则$AC$长是____$($精确到$0.01)$.

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如图,在九年级颁奖典礼上,舞台$AB$的长为$20$米,主持人站在点$C$处自然得体,已知点$C$是线段$AB$上靠近点$A$的黄金分割点,则主持人与点$A$的距离为______米.​

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主持人在舞台上主持节目时,站在黄金分割点上,观众看上去感觉最好.若舞台长$20$米,主持人从舞台一侧进入,设他至少走$x$米时恰好站在舞台的黄金分割点上$(BP$长为$x)$,则$x$满足的方程是（ ）

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同学们学习了线段的黄金分割之后,曾老师提出了一个新的定义:点$C$是线段$AB$上一点,若$\frac{BC}{\sqrt{n}AC}=\frac{\sqrt{n}AC}{AB}=k_{n}$,则称点$C$为线段$AB$的"近$A$,$n$阶黄金分割点".例如:若$\frac{BC}{\sqrt{2}AC}=\frac{\sqrt{2}AC}{AB}=k_{2}$.则称点$C$为线段$AB$的"近$A$,$2$阶黄金分割点"；若$\fr

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生活中到处可见黄金分割的美,如图,在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下$a$与全身$b$的高度比值接近$0.618$,可以增加视觉美感,若图中$b=3m$,则$a$约为（ ）

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【综合与实践】 【认识研究对象】教材$121$页给出了如下定义:如图$1$,如果点$P$把线段$AB$分成两条线段$AP$和$PB\left(AP \gt PB\right)$,且$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{AB}$,则我们称点$P$为线段$AB$的黄金分割点.类似,我们可以定义:如果一个三角形中,其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方,那么就称该三角形为"类黄金三角形". 如图$2$,已知$\tr

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已知线段$AB=6cm$,点$C$是线段$AB$的黄金分割点,且$AC \gt BC$,则$BC=$____$cm$.

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如图,以线段$AB$为边作正方形$ABCD$,取$AD$的中点$E$,连接$BE$,延长$DA$至$F$,使得$EF=BE$,以$AF$为边作正方形$AFGH$,则点$H$即是线段$AB$的黄金分割点.若记矩形$BCIH$的面积为$S_{1}$,正方形$AFGH$的面积为$S_{2}$,则$S_{1}$与$S_{2}$的大小关系是（ ）

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如图所示,以长为$2$的定线段$AB$为边作正方形$ABCD$,取$AB$的中点$P$,连接$PD$,使$PF=PD$,在$AB$的延长线上取点$F$,使$PF$以$AF$为边作正方形$AMEF$,点$M$在$AD$上. $(1)AM$,$DM$的长分别为______,______. $(2)M$是$AD$的黄金分割点吗?请说明理由.

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已知点$P$是线段$AB$上的一点,且$AP^{2}=AB\cdot PB$,如果$AB=2$,那么$AP=\_\_\_\_\_\_.$

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主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,如果舞台$AB$长为$20$米,一个主持人现站在舞台$AB$的黄金分割点点$C$处,则下列结论一定正确的是（ ） ①$AB:AC=AC:BC$； ②$AC\approx 6.18$米； ③$AC=10\left(\sqrt{5}-1\right)$米； ④$BC=10\left(3-\sqrt{5}\right)$米或$10\left(\sqrt{5}-1\right)$米.

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在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示,以线段$AB$为边作正方形$ABCD$,取$AD$的中点$E$,连接$BE$,延长$DA$至$F$,使得$EF=BE$,以$AF$为边作正方形$AFGH$,则点$H$即是线段$AB$的黄金分割点.若$AD=20$,记正方形$AFGH$的面积为$S_{1}$,矩形$BCIH$的面积为$S_{2}$,则$S_{1}$与$S_{2}$的和为______. ​

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"黄金分割"被视为最美丽的几何学比率,在建筑、艺术和日常生活中处处可见.主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体,如图,舞台长$AB=8$米,$C$,$D$是线段$AB$的黄金分割点（即$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB},\frac{BD}{AA}=\frac{AD}{AB})$,若主持人从舞台黄金分割点$C$走到另一个黄金分割点$D$,则$CD$的长为______米.(结果保留根号）

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新定义:如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数）,那么称这个等腰三角形为"精准三角形".如图,$\triangle ABC$是"精准三角形",$AB=AC=2$,$CD\bot AB$,垂足为点$D$,那么$BD$的长度为______.

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如果$P$是线段$AB$的黄金分割点,$AB=2cm$,那么较长线段$AP$的长是______$cm.$

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如图,点$P$把线段$AB$的黄金分割点,且$AP \lt BP$.如果$AB=2$,那么$BP=\_\_\_\_\_\_(结果保留一位小数)$.

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