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在等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点$D$是$BC$边上的一个动点（点$D$不与点$B$,$C$重合）,连接$AD$,作等腰$\triangle ADE$,使$AD=AE$,$\angle DAE=\angle BAC$,点$D$,$E$在直线$AC$两旁,连接$CE$. $(1)$如图$1$,当$\angle BAC=90^{\circ}$时,直接写出$BC$与$CE$的位置关系； $(2)$如图$2$,当$0^

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我们新定义下界三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方则称这个三角形为勾股高三角形,这两边交点为勾股顶点. $(1)$特例感知: ①等腰直角三角形是勾股高三角形______$(请填写"是"或"不是")$； ②如图$1$,已知$\triangle ABC$为勾股高三角形,其中$C$为勾股顶点$CD$是$AB$边上的高.若$BD=2AD=2$,试求$CD$的值. $(2)$深入探究: 如图$2$,已知$\triangle

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如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是$\angle BAC$的平分线,$AD$的垂直平分线交$AD$于点$E$,交$BC$的延长线于点$F$,连接$AF$. 求证:$\left(1\right)\triangle ABF$ ∽ $\triangle CAF$； $(2)FD^{2}=FC\cdot FB$.

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如图,点$B$,$F$,$C$,$E$在同一条直线上,$BF=EC$. $(1)$请从①$AB=DE$,②$\angle A=\angle D$,③$DE$ ∥ $AB$中任选两个当条件,第三个当结论构成一个真命题. 条件:______； 结论:______. $(2)$证明你所构建的命题是真命题.

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如图,已知$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,直角$\angle EPF$的顶点$P$是$BC$中点,两边$PE$、$PF$分别交$AB$、$AC$于点$E$、$F$,给出以下四个结论: ①$AE=CF$； ②$\triangle EPF$是等腰直角三角形； ③$S_{四边形AEPF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$； ④当$\angle EPF$

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如图,在钝角$\triangle ABC$中,画$AC$边上的高,正确的是（ ）

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规定:顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为"友好三角形". $(1)$如图①,在$\triangle ABC$与$\triangle ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,当$\angle BAC$、$\angle BAD$、$\angle BAE$满足什么条件时,$\triangle ABC$与$\triangle ADE$互为"友好三角形"； $(2)$如图②,在四边形$ABCD$中,$AD=AB$,$\angle BA

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如图,正方形$ABCD$是由$9$个边长为$1$的小正方形组成的,点$E$,$F$均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上,连接$AE$,$AF$,则$\angle EAF$的度数是______.

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在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,$AD\bot BC$于点$D$. $(1)$如图$1$,点$E$,$F$分别在$AB$,$AC$上,且$\angle EDF=90^{\circ}$,求证:$BE=AF$； $(2)$如图$2$,点$M$在$AD$的延长线上,点$N$在$AC$上,且$\angle BMN=90^{\circ}$,求证:$MB=MN$.

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如图,在矩形$ABCD$中,$P$是形内一点,且$PA=PD$.求证:$PB=PC$.

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四边形$ABCD$的边长如图所示,对角线$AC$的长度随四边形形状的改变而变化.当$\triangle ABC$为等腰三角形时,对角线$AC$的长为（ ）

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如图$1$,点$P$从菱形$ABCD$的边$AD$上一点开始运动,沿直线运动到菱形的中心,再沿直线运动到点$C$停止,设点$P$的运动路程为$x$,点$P$到$AB$的距离为$m$,到$CD$的距离为$m$,且$y=\frac{n}{m}($当点$P$与点$C$重合时,$y=0)$,点$P$运动时$y$随$x$的变化关系如图$2$所示,则菱形$ABCD$的面积为______.

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已知直角三角形的两条边长为$4$和$5$,则此直角三角形斜边上的中线长为______.

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已知$\triangle ABC$是等边三角形. $(1)$如图$1$,点$D$是$\triangle ABC$外一点,且$\angle BDC=30^{\circ}$,请猜想线段$DA$、$DB$、$DC$之间的数量关系______； $(2)$证明你的结论: $(3)$如图$2$,点$D$是等边$\triangle ABC$外一点,若$DA=13$,$DB=5\sqrt{2}$,$DC=7$,试求$\angle BDC$的度数.

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$(a^{2}+b^{2}-1)(a^{2}+b^{2}+1)=80$,则$a^{2}+b^{2}=\_\_\_\_\_\_.$

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初二（8）班"数学兴趣小组"在学习"勾股定理"章节的内容后,遇到这样的问题.如图在直角三角形$ABC$中,$CA=6$,$CB=8$.点$D$是边$CB$上的一个动点（不与$B$、$C$重合）连接$AD$.若$\triangle ADB$是等腰三角形,求线段$CD$的长. 方法一:王朗坤同学利用学习的勾股定理进行解决,当$\triangle ABD$为等腰三角形时,$AD=BD$,设$CD=x$,则$BD=8-x$,所以$AD=BD=8

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如图,正方形$ABCD$是由$9$个边长为$1$的小正方形组成,每个小正方形的顶点都叫格点.连接$AE$,$AF$,则$\angle EAF=$____.

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如图,长方体的长为$3$,宽为$2$,高为$4$,一只蚂蚁从点$A$出发,沿长方体表面到点$B$处吃食物,那么它爬行最短路程是（ ）

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如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,将其折叠,使$A$落在边$CB$上的${A\’}$处,折痕为$CD$,若$\angle BDC=95^{\circ}$,则$\angle {A\’}DB=\_\_\_\_\_\_^{\circ}.$

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC=4$,$\angle BAC=90^{\circ}$,$\angle ABD=30^{\circ}$,$M$为$BD$上的动点,连结$AM$,$MC$. ​ $(1)$当$AM\bot BD$时,求$AM$； $(2)$当$AB=BM$时,求证:$AM=CM$； $(3)$求$BM+2CM$的最小值.

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