北师大版2024初二数学免费试题

林林自主探究时发现:三角形一个角的平分线与其对边的高重合时,这个三角形是等腰三角形,他通过证明三角形全等得到结论.请根据他的思路完成以下作图与填空: $(1)$用直尺和圆规,作$\angle BAC$的角平分线交$BC$于$D.(保留作图痕迹)$ $(2)$已知:在$\triangle ABC$中,$AD$是$\angle BAC$的角平分线,$AD\bot BC$. 求证:$AB=AC$. 证明:$\because AD$是$\ang

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如图,在平面直角坐标系中,以$O$为圆心,适当长为半径画弧,交$x$轴于点$M$,交$y$轴于点$N$,再分别以点$M$、$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点$P$.若点$P$的坐标为$\left(2a,b+1\right)$,则$a$与$b$的数量关系为（ ）

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如图,在$\angle AOB$内部求作一点$P$,使它到$OA$,$OB$的距离相等,且到点$C$,$D$的距离也相等.要求: $(1)$只用没有刻度的直尺和圆规； $(2)$保留作图痕迹,不必写出作法.

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如图$1$,射线$OP$平分$\angle MON$,在射线$OM$,$ON$上分别截取线段$OA$,$OB$,使$OA=OB$,在射线$OP$上任取一点$D$,连接$AD$,$BD$.易得:$AD=BD$. $(1)$如图$2$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle A=60^{\circ}$,$CD$平分$\angle ACB$,求证:$BC=AC+AD$； $(2)

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,以点$A$为圆心,适当长为半径画弧,分别交$AB$、$AC$于点$D$,$E$,再分别以点$D$,$E$为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$长为半径画弧,两弧交于点$F$,作射线$AF$交边$BC$于点$G$,若$BG=1$,$AC=4$,则$\triangle ACG$的面积为______.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle B=22^{\circ}$,$PQ$垂直平分$AB$,垂足为$Q$,交$BC$于点$P$.按以下步骤作图:以点$A$为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交边$AC$,$AB$于点$D$,$E$；分别以点$D$,$E$为圆心,以大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧相交于点$F$；作射线$AF$.射线$AF$与直线$PQ

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,以$A$为圆心,任意长为半径画弧分别交$AB$,$AC$于点$D$,$E$,再分别以$D$,$E$为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长分别为半径画弧,两弧交于点$F$.作射线$AF$交$BC$于点$G$,若$BG=3$,$AC=12$,则$\triangle ACG$的面积为（ ）

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在劳动植树节活动中,两个班的学生分别在$M$,$N$两处参加植树劳动,现要在道路的$AB$,$AC$交叉区域内设一个茶水供应点$P$,使$P$到两条道路的距离相等,且使$PM=PN$,请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点$P$的位置,保留画图痕迹,不要证明.

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如图,用尺规作图作已知角$\angle AOB$的平分线$OC$,其根据是构造两个三角形全等,它所用到的识别方法是____.

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以下尺规作图中,一定能得到线段$AD=BD$的是（ ）

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如图,在平面直角坐标系中,以$O$为圆心,适当长为半径画弧,交$x$轴于点$M$,交$y$轴于点$N$,再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点$P$,若点$P$的坐标为$\left(2a,b+1\right)$,则$a$与$b$的数量关系为______.

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教材$62$页例$1$中介绍了用尺规作图作经过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法: $(1)$任意取一点$K$,使点$K$和点$C$在$AB$的两旁； $(2)$以点$C$为圆心,$CK$长为半径作弧,交$AB$于点$D$和$E$； $(3)$分别以点$D$和点$E$为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧相交于点$F$； $(4)$作直线$CF$.则$CF$即为所求作的垂线.请你用已学的知识证明用此方法作的直线

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如图,已知直线$l$及直线$l$外一点$P$. $(1)$在直线$l$上取一点$A$,连接$PA$； $(2)$作$PA$的垂直平分线$MN$,分别交直线$l$,$PA$于点$B$,$O$； $(3)$以$O$为圆心,$OB$长为半径画弧,交直线$MN$于另一点$Q$； $(4)$作直线$PQ$. 根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是（ ）

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某班开展"用直尺和圆规作角平分线"的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线$OP$为$\angle AOB$的平分线的有（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,作$\angle BAC$的平分线$AP$,交$BC$于点$P$.在射线$AC$上,截取线段$AD$,使$AD=AB$. $(1)$用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹,不写作法）； $(2)$连接$PD$,求证:$PB=PD$.

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若$a$、$b$是某长方形的长和宽,且有$\left(a+b\right)^{2}=16$,$\left(a-b\right)^{2}=4$,则该长方形面积为（ ）

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如图,已知在$\triangle ABC$中,$CD$是$AB$边上的高,$BE$平分$\angle ABC$,交$CD$于点$E$,$BC=5$,$DE=2$,则$\triangle BCE$的面积等于____.

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如图,已知$BE=CF$,$DE\bot AB$交$AB$的延长线于点$E$,$DF\bot AC$于点$F$,且$BD=CD$. 求证:$\left(1\right)\triangle BED$ ≌ $\triangle CFD$； $(2)AD$是$\angle BAC$的平分线.

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已知,如图,$AD$平分$\angle BAC$,$DE\bot AC$,$DB=DC$,$DE=3$,$AB=4$,$\angle BDC=\alpha $,则$\triangle ABD$的面积为______,$\angle BAC= \_\_\_\_\_\_.$

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB$的垂直平分线与$\angle ACB$的外角平分线交于点$D$,$DE\bot AC$于点$E$,$DF\bot BC$交$BC$的延长线于点$F$,则下列结论: ①$\triangle ADE$ ≌ $\triangle BDF$； ②$∠DCF=90°-\frac{1}{2}∠BDA$； ③$\angle BAC=\angle CDB$； ④若$AE=10$,$CE=4$,则$BC=

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如图,$\triangle ABC$的三边$AB$,$BC$,$CA$长分别是$20$,$30$,$40$,其三条角平分线将$\triangle ABC$分为三个三角形,则$S_{\triangle ABO}$:$S_{\triangle BCO}$:$S_{\triangle CAO}$等于（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AD$平分$\angle CAB$,交$BC$与$D$,过点$D$作$DE\bot AB$于$E$,$BC=8cm$,$BD=5cm$,则$DE=\left(\ \ \right)cm$.

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如图所示,$BE=CF$,$DE\bot AB$于$E$,$DF\bot AC$于$F$,且$BD=CD$. 求证:$\left(1\right)\triangle BDE$ ≌ $\triangle CDF$； $(2)AD$是$\angle BAC$的平分线.

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如图,$BD$是$\triangle ABC$的角平分线,$DE\bot AB$,垂足为$E$.若$\triangle ABC$的面积为$10$,$AB=6$,$BC=4$,则$DE$的长为______.

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